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Calculatrice et équations

Pour résoudre graphiquement une équation de la forme f (x) = g(x) :

- on trace les courbes représentatives de f et g

- les solutions de l'équation sont données par les abscisses des points d'intersection

Il est parfois nécessaire de choisir une bonne fenêtre graphique pour voir tous les points d'intersection des deux courbes.

Lorsque les solutions semblent être des valeurs simples, entières par exemple, on peut vérifier par calcul que ce sont bien des solutions. Toutefois cette vérification n'assure pas qu'on a trouvé toutes les solutions existantes.

Lorsque les solutions ne sont pas des valeurs simples, on peut les approcher en utilisant des tableaux de valeurs.

1- Exercice 1

Résoudre les équations suivantes, d'abord graphiquement, puis par le calcul.

a) x² – 9 = 7                    b) (x + 3)² = 16                c) x² – 2 = 6 – x²             d) x² – 1 = – 3

e)          f)                 g) x² = 2x – 1                 h) x² – 1 = 3x + 3

i) x² – 2x = –3x + 6         j)             k)

2- Exercice 2

Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = 0,01x³ – 0,32x² + 0,36x + 7,2.

1) Tracer la courbe représentative de f sur votre calculatrice. Conjecturer le nombre de solutions de l'équation f (x) = 0, ainsi que leurs valeurs.

2) Vérifier par un calcul que les solutions obtenues par lecture graphique sont bien des solutions exactes de l'équation f (x) = 0.

3) Est-on certain que ce sont les seules solutions ? Que devient la courbe pour des valeurs plus grande de x ? Calculer f (40). Que peut-on en déduire ?

4) Montrer que pour tout réel x, f (x) = 0,01(x – 30)(x – 6)(x + 4). Quel est l'ensemble des solutions de l'équation f (x) = 0 ?

isometries

Transformations géométriques

Nous allons étudier quatre transformations géométriques qui conservent les distances; il s'agit de la symétrie axiale, de la symétrie centrale, de la translation et de la rotation.

A. Symétries

1- Symétrie axiale

La symétrie axiale S d'axe D transforme un point M en un point M' tel que :

- si M∈D, alors M'=M

- si M∉D, alors D est la médiatrice de [MM'].

On dit que M' est l'image de M par S et on écrit S(M) = M'.

La droite D est perpendiculaire à (MM') et passe par le milieu I de [MM'].

Remarques

1- si M' est l'image de M par la symétrie axiale d'axe D, alors M' et M se correspondent par pliage autour de la droite D.

2- les points de la droite D sont leurs propres images par rapport à la symétrie axiale d'axe D, on dit qu'ils sont invariants.

Axe de symétrie

Une figure F admet la droite D comme axe de symétrie si elle est sa propre image par la symétrie d'axe D.

Exemple : si la figure F est le triangle ABC isocèle en A, la droite D médiatrice de [BC] est un axe de symétrie de F.

En effet, pour tout point M situé sur ABC, le point M' symétrique de M par rapport à D se trouve aussi sur ABC.

2- Symétrie centrale

La symétrie centrale s de centre O transforme tout point M en un point M' tel que :

- si M=O, alors M'=M=O.

- si M≠O, alors O est le milieu de [MM']

On dit que M' est l'image de M par s et on écrit s(M) = M'.

Remarques

1- si M' est l'image de M par s, alors M et M' se correspondent par un demi-tour autour de O.

2- O est le seul point invariant par s.

Centre de symétrie

Une figure F admet le point O comme centre de symétrie si elle est sa propre image par la symétrie de centre O.

Exemple : si la figure F est le parallélogramme ABCD, alors le point O intersection des diagonales est un centre de symétrie de F. En effet, pour tout point M situé sur ABCD, le point M' symétrique de M par rapport à O se trouve aussi sur ABCD.

B. Translation et rotation

1- Translation

Un vecteur définit une longueur, une direction et un sens; on le représente par une flèche.

La translation t de vecteur transforme tout point M en un point M' tel que = .

On dit que M' est l'image de M par la translation t et on écrit

t(M) = M'.

Remarques :

1- Si M' est l'image de M par la translation de vecteur , alors M vient prendre la place de M' après un déplacement défini par la direction, le sens et la longueur du vecteur .

2- Il n'y a aucun point invariant par une translation de vecteur non nul.

2- Rotation

Une rotation peut se faire dans deux sens : le sens positif (sens de rotation autour d'un rond-point) et le sens négatif (sens des aiguilles d'une montre).

La rotation r de centre O et d'angle a transforme tout point M en un point M' tel que :

- si M=O, alors M'=M=O

- si M≠O, alors OM' = OM et = a en tenant compte du sens de rotation selon le signe de a.

On dit que M' est l'image de M par la rotation r et on écrit r(M) = M'.

Remarques

1- si M' est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle a, alors M vient se placer sur M' si on le fait tourner autour de O d'un angle égal à a.

2- O est le seul point invariant par une rotation de centre O.

3- Les symétries centrales sont des rotations d'angle 180°.

C. Propriétés

Les symétries, les translations et les rotations conservent les distances, cela implique un certain nombre de propriétés remarquables. On appelle isométrie les transformations géométriques qui conservent les distances.

1- Conservation des distances

On considère deux points M et N, ainsi que leurs images M' et N' par l'une des quatre transformations étudiées.

La propriété de conservation des distances nous indique que MN = M'N'.

Symétrie axiale	Symétrie centrale	Translation	Rotation

Dans chacun précédent, l'image d'un segment [MN] est le segment [M'N'] qui a même longueur que [MN].

2- Image d'une droite

Les quatres transformations étudiées conservent les alignements; elles transforment toute droite D en une droite D'.

Cas particulier de la translation et de la symétrie centrale

Une translation ou une symétrie centrale transforment une droite D en une droite D' parallèle à D.

Translation	Symétrie centrale

3- Image d'un angle

Les quatre transformations étudiées conservent les angles.

Conséquence :

Les quatre transformations étudiées conservent le parallélisme et l'orthogonalité.

4- Image d'une figure

Les quatre transformations étudiées transforment une figure F en une figure F' de même nature : un cercle en cercle de même rayon, un triangle en un triangle, un rectangle en un rectangle, etc…

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Devoir de Mathématiques

Exercice 1

On considère les fonctions f et g définies sur ℝ par

f(x) = x² et g(x) = 2x + 1.

1- Représenter graphiquement les fonctions f et g dans un même repère.

2- Résoudre graphiquement l'équation f(x) = g(x).

3- Pour résoudre algébriquement l'équation f(x) = g(x) :

    a) Développer

    b) Factoriser

    c) En déduire la ou les solutions de l'équation f(x) = g(x).

    d) Vérifier que le résultat précédent concorde avec le résultat obtenu graphiquement.

4- Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) < g(x).

Exercice 2

La figure représente le cube ABCDEFGH.

1- Reproduire la figure sur la copie, puis ajouter le point K de l'arête [BC] tel que

.

2- Quelle est l'intersection du plan (FKG) avec le plan (ABE) ? Justifier.

3- Tracer la droite (KG). Elle coupe le plan (ABE) en un point appelé L. Construire ce point L. Justifier.

4- Que peut-on dire des droites (KG) et (AD) ? Justifier.

5- Construire l'intersection des plans (DKF) et (DHE). Justifier la construction en citant un théorème du cours.

6- Le triangle AKF est-il isocèle, rectangle, équilatéral ou quelconque ? Justifier.

Exercice 3

On considère un tétraèdre ABCD. On appelle I le milieu de [AB] et G le centre de gravité du triangle ACD.

Faire la figure, puis construire le point E intersection de la droite (IG) avec le plan (BCD). Justifier.

calculatrice-maximum-fonction.odt

Maximum d'une fonction et calculatrice

Objectifs :

• faire tracer la courbe représentative d'une fonction

• utiliser le tableau de valeurs fourni par la calculatrice

• démontrer qu'une valeur est bien le maximum ou le minimum d'une fonction

Exemple 1

Soit  f  la fonction définie sur ℝ par f (x) = x² – 3x + 1.

Compléter le tableau de valeurs suivant :

x	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
f (x)	41	29	19	11	5	1	-1	-1	1	5	11

Quelles conjectures peut-on faire sur les variations de f ? sur l'existence d'un minimum ?

f semble être décroissante lorsque x varie de -5 à 1 et croissante lorsque x varie de 2 à 5.
On ne voit pas ce qui se passe entre 1 et 2.
S'il y a un minimum, il semble devoir être atteint pour x compris entre 1 et 2.

Créer un tableau donnant les valeurs de f (x) pour x variant entre 1 et 2 avec un pas de 0,1.

x	1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,5	1,7	1,8	1,9	2
f (x)	-1	-1,09	-1,16	-1,21	-1,24	-1,25	-1,24	-1,21	-1,16	-1,09	-1

Cette fois il semble qu'il ait bien un minimum égal à -1,25 atteint pour x = 1,5.

A-t-on vraiment f (1,5) = -1,25, c'est à dire f (3/2) = -5/4 , ou s'agit-il d'un résultat approché ?

Pour répondre il faut effectuer le calcul sur sa feuille.
.

Tracer la courbe représentative de f sur la calculatrice pour x variant de -5 à +5.

On règle la fenêtre d'affichage en donnant les valeurs xMin=-5 et xMax=5.
Comment choisir yMin et yMax pour voir toute la courbe ?

Est-ce que cette courbe confirme la conjecture sur le miminum ?

Oui. Cependant il subsiste un doute. Que se passe-t-il lorsque x est supérieur à 5 ou inférieur à -5 ? Il est possible qu'il y ait des changements dans les sens de variation et que f (x) devienne inférieur à -1,25.

Démontrer que le minimum de f est bien -5/4 et qu'il est atteint pour x = 3/2.

Il s'agit de montrer que pour tout réel x, on a  f (x)  -5/4.

Pour effectuer cette démonstration, on calcule  f (x) - (-5/4) et on étudie son signe. Normalement, on doit trouver que f (x) - (-5/4) est toujours positif et ne s'annule que pour x = 3/2.
.
On remarque que 4x² – 12x + 9 = (2x – 3)², d'où
 .
Comme un carré est toujours positif, cela montre bien que f (x) - (-5/4) est toujours positif et donc que  f (x)  -5/4. D'autre part, (2x – 3)² ne s'annule que pour x = 3/2, le minimum est donc atteint pour x = 3/2.

Exemple 2

Soit f la fonction définie sur ℝ par .

A l'aide de la calculatrice, déterminer le minimum et le maximum de f.

Démontrer ces résultats.

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Devoir de Mathématiques

Exercice 1

1- Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = 7 – 2x.

a) Montrer que f est une fonction affine en donnant son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.

b) Quel est le sens de variation de f ?

Calculer . Sachant que < , que peut-on en déduire pour ?

c) Etudier le signe de f (x) en fonction de x.

2- Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = .

a) Montrer que g est une fonction affine en donnant son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.

b) Quel est le sens de variation de g ?

Calculer g(3). Sachant que  > 3, que peut-on en déduire pour g() ?

c) Etudier le signe de g(x) en fonction de x.

3- a) Construire les représentations graphiques des fonctions f et g, définies précédemment, dans un même graphique.

b) Résoudre l'équation f (x) = g(x) d'abord graphiquement, puis algébriquement.

c) Donner l'ensemble des solutions de l'inéquation f (x)  g(x). Justifier.

Exercice 2

n étant un entier naturel strictement positif, on pose A = .

1- Calculer lorsque n=1, puis lorsque n=2 et n=3.

En déduire à chaque fois l'ordre de A et .

2- Exprimer en fonction de n, et indiquer le signe du résultat.

Que peut-on en déduire ?

lecture-graphique

Lecture graphique (1)

On considère la fonction f définie par la courbe suivante :

1. L'ensemble de définition de f est

2. Construire le tableau de variation de f :

3. L'image de 4 est f (4) = ; l'image de – 1 est f (– 1) =

4. Quel est le nombre d'antécédents de 1 ?

Les antécédents de 1 sont

5. Donner :

- un nombre qui n'a pas d'antécédent

- un nombre qui a exactement un seul antécédent

- un nombre qui a exactement deux antécédents

- un nombre qui a exactement trois antécédents

6. a et b sont deux réels de ]– 3; 2[ tels que a < b. Comparer f (a) et f (b) :

7. Quelles sont les solutions de l'inéquation f (x) < 0 ?

---

Lecture graphique (2)

On considère la fonction f définie par la courbe suivante :

1. Quel est l'ensemble de définition de f ?

2. Compléter le tableau de valeurs suivant :

x	– 4	– 3	– 2	– 1	0	1	2	3	4
f (x)

3. Reproduire la courbe représentative de f.

4. Construire le tableau de variation de f.

5. Résoudre l'équation f (x) = – 3.

6. Etudier le signe de f (x) et donner la réponse sous la forme d'un tableau de signes.

7. A quel intervalle appartient f (x) lorsque x ∈ [– 1; 2] ?

8. a et b sont 2 réels de l'intervalle [– 1; 4] tels que a < b.

Que peut-on dire de l'ordre de f (a) et f (b) ?

ds05.odt

Devoir de Mathématiques

Exercice 1

On considère la fonction v définie par v(x) = sur ]0; +∞[.

1- Calculer v(20) et v(60).

2- Résoudre l'équation v(x) = 24.

3- Voici la représentation graphique de la fonction v.

Retrouver graphiquement les résultats des questions 1 et 2.

4- Il semble, d'après la représentation graphique, que v(x) ne peut pas dépasser 40.

Calculer 40 – v(x) et déterminer son signe. Est-ce que cela confirme l'observation précédente ?

Exercice 2

Le quadrilatère ABCD de la figure a les propriétés suivantes :

• AB = 8 cm et BC = 6 cm

• = 90° et = 60°

• DA = DC

1- Calculer AC.

2- Démontrer que le triangle ACD est équilatéral.

3- Dans le triangle ACD, on appelle H le pied de la hauteur issue de A. Démontrer que AH = .

4- Calculer l'aire du quadrilatère ABCD.

Exercice 3

a et b désignent deux réels strictement positifs, A = et B = .

1- Pour cette question, a = 6 et b = 8. Calculer A – B, en déduire l'ordre de A et B ?

2- Pour cette question, a = 5 et b = 4. Calculer A – B, en déduire l'ordre de A et B ?

3- On se place dans le cas général où a et b désignent deux réels strictement positifs.

Calculer A – B, et montrer que A – B a le même signe que a – b.

Que peut-on en déduire sur l'ordre de A et B ?

Est-ce que ce résultat concorde avec ceux obtenus aux questions 1 et 2 ?

4- Sans utiliser de calculatrice, comparer et .