Etude d'une pyramide

On considère le cube ABCDEFGH d'arête 4cm et on se propose d'étudier la pyramide EBFG.

1) Reproduire le dessin en perspective.

2) Calculer le volume de la pyramide EBFG en prenant le triangle EFB comme base et l'arête FG comme hauteur.

3) Calculer les longueurs EB, BG et GE. Qu'en déduit-on pour le triangle EBG ?

4) Construire un patron de la pyramide EBFG.

5) Représenter le triangle EBG en vraie grandeur et marquer les points I et J milieux respectifs de [EG] et [EB]. Calculer BI, puis l'aire de EBG.

6) Sur le dessin en perspective marquer les points I et J, puis le point O intersection de [BI] et [GJ].

OF représente alors la hauteur de la pyramide EBFG lorsqu'on choisit le triangle EBG comme base. Calculer OF en utilisant les résultats des questions 2 et 5.

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Vrai ou Faux

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse, puis justifier la réponse.

Partie numérique

1) Quels que soient les nombres a et b, (a + b)² = a² + b².

2) f  est la fonction définie par f (x) = x² - 4. L'image par f  de -1 est -5.

3) L'équation x² + 3 = 0 a deux solutions qui sont et -.

4) Quels que soient les nombres a et b, (a + b)² - (a - b)² = 4ab.

5) 0,99 est le plus grand nombre décimal inférieur à 1.

6) Si f  est une fonction croissante entre -5 et 0, alors f (-2) > f (-3).

7) Si f (-2)=5 et si f (3)= 0, alors f  est une fonction décroissante entre -2 et 3.

8) Quels que soient les nombres strictement positfs a et b, .

9) -3 est une solution de l'équation x² + 6x = -9.

10) .

Partie géométrique

1) A, M et B sont trois points du plan. Si AM = MB, alors M est le milieu de [AB].

2) On donne les points A(-50, 100), B(-6, 70) et C(38, 40). B est le milieu de [AC].

3) Si les segments [AB] = [CD] sont parallèles et de même longueur, alors .

4) Si , alors les segments [EG] et [HF] ont même longueur.

5) Si les segments [PR] et [SQ] ont le même milieu, alors .

6) On donne les points E(0, 5) et F(5, 0). On a alors EF = 5.

7) Si AC² - BC² = AB², alors le triangle ABC est rectangle en B.

8) Si ABCD est un losange, alors les vecteurs et sont égaux.

9) Si le point F est l'image du point E par la translation de vecteur , alors .

10) Les coordonnées du vecteur sont (x_D - x_E, y_D - y_E).

Devoir de Mathématiques

Exercice 1

Dans le plan muni d'un repère orthonormal on considère les points A(-1, 2), B(4, 3) et C(3, -2).

1) Dessiner le triangle ABC, puis démontrer qu'il s'agit d'un triangle isocèle.

2) Calculer les coordonnées du vecteur .

3) Construire le point D tel que , puis calculer ses coordonnées.

4) Démontrer que ABCD est un losange.

5) Construire le point E image de B par la translation de vecteur , puis calculer ses coordonnées.

6) Démontrer que le triangle BDE est rectangle en B.

Exercice 2

On considère la fonction f  définie par f (x) = (x+3)²- 5.

1) Calculer f (-5), f (-2) et .

2) Montrer que l'image par f de  est .

3) En utilisant la calculatrice, résoudre graphiquement l'équation f (x) = 0.

(on donnera des valeurs approchées à 0,1 près de la ou des solutions)

4) Résoudre algébriquement l'équation f (x) = 0. Comparer les solutions obtenues à celles de la question précédente.

La correction se trouve ici...

Vecteurs et coordonnées avec GeoGebra

Exercice 1

Dans le plan muni d'un repère on donne les points A(-5,1), B(-1, 3), C(5, 1) et D(1; -1).

1) Faire la figure avec Geogebra

- on fera apparaître les axes et le quadrillage

- pour construire le point A, on peut soit cliquer à son emplacement, soit inscrire dans la ligne d'édition "A=(-5,1)" et valider avec la touche Entrée.

- lorsqu'un point est construit il apparaît sur la figure, mais aussi dans la colonne de gauche où on peut lire ses coordonnées.

- en cliquant sur le point avec le bouton droit de la souris on obtient un menu dans lequel figure l'item "Propriétés"; cela permet de modifier certaines propriétés du point comme son nom, sa couleur, ...; on peut aussi "fixer" le point pour éviter tout déplacement à la souris.

- lorsque les 4 points sont tracés, on les relie avec les 4 segments [AB], [BC], [CD] et [DA]; renommer ces segments en AB, BC, CD et DA; ils apparaissent dans la colonne de gauche avec leurs longueurs.

Vérifier par un calcul les résultats indiqués pour AB et BC.

2) Indiquer deux façons de démontrer que ABCD est un parallélogramme : avec des milieux, avec des vecteurs.

- avec les milieux : construire les points E et F milieux respectifs de [AC] et [BD]; comment les coordonnées inscrites dans la colonne de gauche ont-elles été calculées ?

- avec les vecteurs : construire les vecteurs et ; comment les coordonnées inscrites dans la colonne de gauche ont-elles été calculées ?

Exercice 2

Dans le plan muni d'un repère on donne les points A(-1,1), B(3, 2), C(-2, 5) et D(2; 6).

1) Faire la figure.

2) Montrer que ABDC est un parallélogramme.

3) Montrer que ABDC est un carré et calculer son aire.

Exercice 3

Dans le plan muni d'un repère on donne les points A(-1,2), B(-3, -2), C(4, -1).

1) Placer les 3 points.

2) On veut construire le point D tel que ABCD soit un parallélogramme en utilisant une translation.

- Quel est le point dont D est l'image et quel est le vecteur de la translation ?

- Faire la construction et indiquer comment calculer les coordonnées de D.

3) On veut construire le point E tel que ABEC soit un parallélogramme en utilisant une symétrie centrale.

- Quel est le point dont E est l'image et quel est le centre de la symétrie ?

- Faire la construction et indiquer comment calculer les coordonnées de E.

4) Démontrer que C est le milieu de [ED].