pb-minimum-outils-en-ligne

Un problème de minimum à résoudre avec des outils informatiques en ligne

Source : activité 6 p. 246, Hyperbole 2nde

Enoncé du problème

ABCD est un rectangle tel que AB=2 et AD=1.
M est un point du segment [BC] tel que BM=x.
On note O le point d'intersection des droites (AM) et (BD); la parallèle à (AB) passant par O coupe (AD) et (BC) respectivement en H et H'.
Pour quelle position du point M la somme des aires des triangles AOD et BOM est-elle minimale ?

A - Figure avec Geogebra et première conjecture

Cette partie est traitée avec le logiciel Geogebra à démarrer à partir de la page Geogebra WebStart.

1- Construction de la figure

1) Créer les points A, B, C et D en donnant leurs coordonnées. On choisira B(0,0) et D(1,2). Quelles doivent être les coordonnées de A et C ? Rendre ces 4 points fixes.
2) Créer les segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. On peut supprimer l'affichage du repère et zoomer.
3) Créer le point M sur [BC], puis le segment BM qu'on renommera xx.
4) Construire les points O, H et H', puis les triangles AOD et BOM.
5) Définir la variable S comme somme des aires de AOD et BOM.

2- Observation et conjecture

Déplacer le point M sur [BC] et observer les variations de S.
Quelles est la valeur minimale de S ? Pour quelle valeur de xx est-elle obtenue ?
En choisissant l'option d'affichage de 5 décimales on peut donner des réponses avec 5 décimales.

B - Détermination d'une fonction

Cette partie contient des démonstrations à faire sur la copie.
On appelle f la fonction qui à tout réel x de [0,1] associe la somme des aires de AOD et BOM, BM étant égal à x.
On se propose de trouver une expression de f(x) en fonction de x.
1) Montrer que les triangles AOD et BOM sont semblables. Quel est le rapport de similitude faisant passer de AOD à BOM ?
2) Expliquer pourquoi OH'=xOH et OH+OH'=2.
En déduire OH, puis l'aire de AOD et celle de BOM en fonction de x.
3) Montrer que .

C - Etude graphique de la fonction f

Cette partie utilise la calculatrice de fonction de WIMS.
1) Introduire la fonction f en écrivant : (x^2+1)/(x+1)
2) Cocher la ligne "La courbe de f, dans l'intervalle ..." et donner [0,1] comme intervalle.
3) Cocher la ligne "Recherche de racines et/ou extréma de f(x)..." et donner encore [0,1] comme intervalle.
4) Cliquer sur le bouton "Montrer"
5) Lorsque la courbe apparaît, cliquer sur le minimum de la courbe.
Quel est le minimum de f indiqué ? Pour quelle valeur de x est-il obtenu ?
Est-ce que les résultats confirment ceux obtenus avec Geogebra ?

D - Détermination algébrique du minimum de f

Cette partie utilise XCas en ligne pour effectuer des calculs algébriques. (il est recommandé d'utiliser le navigateur Firefox, la page Xcas en ligne utilise des possibilités que d'autres navigateurs ne savent pas encore exploiter)
Dans XCas nous activons la console symbolisée par un écran et l'Assistant d'Xcas en ligne symbolisé par une bouée.

1) En utilisant la partie Analyse de l'assistant, définir la fonction f en écrivant f(x) comme nom et (x^2+1)/(x+1) comme expression. Cliquer sur le bouton "Ecrire sans calculer".
L'assistant inscrit :
f(x):=(x^2+1)/(x+1)
dans la console, appuyer sur Entrée pour valider.
2) Vérifier que .
Pour effectuer cette vérification il suffit de factoriser le premier membre. On choisit donc la partie Algèbre de l'assistant et l'instruction Factoriser.
Comme expression à factoriser on inscrit f(x)-2*(sqrt(2)-1). La fonction racine carrée est appelée sqrt (de square root).
L'assistant inscrit :
factor(f(x)-2*(sqrt(2)-1))
dans la console, appuyer sur Entrée pour valider. On obtient le résultat attendu.
3) Déduire du résultat précédent que pour tout x de [0,1], .
En utilisant XCas, vérifier que .
4) Quelle est la valeur exacte du minimum de f ? Pour quelle valeur de x est-il obtenu ?
Est-ce que cela confirme les résultats obtenus dans les parties précédentes ?