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20 mars 2009

tetraedre-regulier

Tétraèdre régulier

Partie 1

Soit ABCD un tétraèdre régulier; ses 4 faces sont des triangles équilatéraux.

1) On appelle I le milieu de l'arête [BC]. Montrer que (BC) est perpendiculaire au plan (AID). Qu'en déduit-on pour les droites (BC) et (AD) ?

2) On appelle J le milieu de l'arête [CD]. Montrer que (CD) est perpendiculaire au plan (AJB). Qu'en déduit-on pour les droites (CD) et (AB) ?

3) On appelle G l'intersection des droites (DI) et (BJ). Que représente le point G pour le triangle BCD ?

Montrer que la droite (AG) est perpendiculaire au plan (BCD).


Partie 2

On appelle a l'arête du tétraèdre régulier ABCD. On se propose de calculer son volume.

 


1) Calculer DI, puis l'aire du triangle BCD.

2) Calculer DG, en sachant que G est le centre de gravité de BCD.

3) Montrer que AGD est rectangle en G, en déduire AG.

4) Montrer que le volume du tétraèdre est égal


Partie 3

On considère le cube AEBFGCHD d'arête c.


1) Montrer que le tétraèdre ABCD inscrit dans ce cube est un tétraèdre régulier.

2) Calculer le volume V1 du cube et le volume V2 de la pyramide AGCD en fonction de c.

3) Montrer que le volume V du tétraèdre ABCD est égal à V1 - 4V2. Exprimer ce volume en fonction de c.

4) On appelle a l'arête du tétraèdre régulier ABCD. Exprimer c en fonction de a.

En déduire le volume V de ABCD en fonction de a.



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