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Rapports trigonométriques remarquables

1- Diagonale d'un carré

ABCD est un carré de côté a. Calculer la longueur de sa diagonale AC.

En déduire les valeurs de sin(45°), cos(45°) et tan(45°).

2- Hauteur d'un triangle équilatéral

ABC est un triangle équilatéral de côté a et H est le pied de la hauteur issue de A. Calculer BH et AH.

En déduire les valeurs de sin(60°), cos(60°) et tan(60°).

Puis les valeurs de sin(30°), cos(30°) et tan(30°).

Résumé des résultats obtenus :

Angles	30°	45°	60°
sinus
cosinus
tangente		1

3- Valeur exacte de sin(15°)

Ptolémée, mathématicien, astronome et géographe grec, vivait au IIème siècle avant JC. Il a publié dans son manuel astronomique l'Almageste la première table trigonométrique de l'histoire. On lui doit ce calcul de la valeur exacte de sin(15°).

Sur un cercle  de centre O et de rayon 1 on place deux points B et C tels que =60°.

La bissectrice de coupe [BC] en D et le cercle  en A.

La bissectrice de coupe [AB] en I.

1. Montrer que sin(15°) = BI.

2. Montrer que et . En déduire AB².

3. Justifier l'égalité sin(15°) = .
   Vérifier avec la calculatrice.