coordonnees.odt
Coordonnées
A - Coordonnées de points et de vecteurs.
1. Repérage du plan
On considère un point O et deux vecteurs
et
non colinéaires.
On dit alors que
est un repère.
L'axe
est appelé axe des abscisses (axe des x).
L'axe
est appelé axe des ordonnées (axe des y).
Cas particuliers :
Le repère
est orthogonal si les vecteurs
et
ont des directions orthogonales.
Le repère
est orthogonormal si les vecteurs
et
ont des directions orthogonales et des longueurs égales à
une unité.
On considère dans la suite que le plan est muni d'un repère
.
2. Coordonnées d'un point
A tout point M
on peut faire correspondre un unique couple de réels (xM,
yM) tels que
.
Le couple (xM, yM) est le couple des coordonnées de M, on écrit M(xM, yM).
Le réel xM est l'abscisse de M.
Le réel yM est l'ordonnée de M.
3. Coordonnées d'un vecteur
A tout vecteur
on peut faire correspondre un unique couple de réels (x,
y) tels que
.
Le couple (x,
y) est le couple des coordonnées de
,
on écrit
(x,
y).
Le réel x
est l'abscisse de
.
Le réel y
est l'ordonnée de
.
B - Propriétés générales
Le plan est muni
d'un repère
.
1. Coordonnées et opérations sur les vecteurs
On considère les vecteurs
et
ainsi que le réel k.
Les coordonnées de
sont (x + x', y + y').
Les coordonnées de
sont (x – x', y – y').
Les coordonnées de
sont (kx, ky).
Démonstration
signifie
et
signifie
.
Alors,
=
=
;
=
=
=
;
=
=
.
2. Coordonnées d'un vecteur défini par deux points
On considère les points A(xA, yA) et B(xB, yB).
Les coordonnées du vecteurs
sont (xB – xA , yB
– yA).
Démonstration
On a
;
or
et
;
on en déduit que
.
3. Coordonnées du milieu d'un segment
On considère les points A(xA, yA) et B(xB, yB).
Les coordonnées du point M milieu de [AB] sont
et
.
Les coordonnées du milieu d'un segment sont les moyennes des coordonnées de ses extrémités.
Démonstration
M est le milieu de [AB] ⇔
.
En abscisse, cela se traduit par xM – xA
= xB – xM, soit 2xM
= xA + xB, donc
.
De même, en ordonnée, yM – yA
= yB – yM, soit 2yM
= yA + yB, donc
.
4. Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs
et
sont colinéaires lorsque leurs coordonnées sont
proportionnelles, donc lorsque xy' = x'y.
Démonstration
Si
et
sont colinéaires, il existe un réel k tel que
,
donc x' = kx et y' = ky;
k est le coefficient de proportionnalité faisant passer de (x, y) à (x', y').
En appliquant la règle du produit en croix, on obtient xy' = x'y.
C - Distance et orthogonalité
Dans ce paragraphe
le plan est muni d'un repère orthonormal
.
1. Norme d'un vecteur
La longueur d'un vecteur
est aussi appelée norme du vecteur
et notée
.
Pour tout vecteur
,
on a
.
Démonstration
Considérons le point M tel que
.
On a M(x, y) et
= OM.
Soit H(x, 0).
Comme le repère est orthogonal, le triangle OHM est rectangle en H, donc OM² = OH² + HM².
Comme le repère est orthonormal, on a
et
,
donc OH = ∣x∣
et HM = ∣y∣.
Ainsi OM² = x² + y², d'où
et
.
2. Distance entre deux points
On considère les points A(xA, yA) et B(xB, yB).
Les coordonnées du vecteurs
sont (xB-xA, yB-yA).
La norme de
est aussi la distance AB, d'où AB =
.
3. Vecteurs orthogonaux
Les vecteurs
et
sont orthogonaux si et seulement si xx' + yy' = 0.
Démonstration
Considérons le point M tel que
et
le point M' tel que
.
et
sont orthogonaux si et seulement si OMM' est un triangle
rectangle en O,
soit MM'² = OM² + OM'².
Or, OM² = x² + y², OM'² = x'² + y'²
et MM'² = (x' – x)² + (y – y')².
Cela nous donne :
(x' – x)² + (y – y')² = x² + y² + x'² + y'², soit
x'² – 2xx' + x² + y'² – 2yy' + y² = x² + y² + x'² + y'²
et en simplifiant,
–2xx' – 2yy' = 0, d'où xx' + yy' = 0.
Libellés : cours
publié par Bruno K. @ 20:38
1 commentaires:
les figures sont aident beaucoup à la compréhension plus que les explications en elles-même...
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