Une seconde de Maths: vecteurs.odt

Les vecteurs

A - Vecteurs égaux

1- Définition

Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même longueur, même direction et même sens. C'est pour cette raison qu'on représente les vecteurs par des flèches.

Les vecteurs et sont égaux, en effet ils ont :

même longueur : AB = CD

même direction : (AB) // (CD)

même sens : le sens de A vers B est le même que le sens de C vers D.

Attention

L'égalité regroupe trois informations ; il faut donc que les trois propriétés soient vérifiées pour qu'elle ait lieu.

2- Vecteurs et milieu d'un segment

Considérons trois points A, I et B.

Le point I est le milieu du segment [AB]

si et seulement si

La propriété géométrique I est le milieu du segment [AB] et l'égalité vectorielle sont donc équivalentes.

3- Vecteurs et parallélogrammes

Considérons quatre points A, B, C et D.

Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme

si et seulement si

La propriété géométrique ABCD est un parallélogramme et l'égalité vectorielle sont donc équivalentes.

Attention

Il ne faut pas oublier de tenir compte du sens des vecteurs : pour le parallélogramme ABCD, l'égalité de vecteurs est et non .

Remarque

Le parallélogramme ABCD peut aussi être nommé BCDA, CDAB, DABC, ADCB, DCBA, CBAD ou BACD. Chaque façon de le nommer fournit une nouvelle égalité vectorielle; on a finalement les 4 égalités suivantes :

Si l'une de ces 4 égalités est vérifiée, les 3 autres le sont aussi.

B - Somme de vecteurs

On peut définir une addition des vecteurs qui a des propriétés semblables à celles de l'addition des nombres.

1- Relation de Chasles

Quels que soient les points A, B et C :

Le vecteur est la somme des vecteurs et .

Remarque

On peut interpréter la relation de Chasles de la façon suivante : le vecteur représente un déplacement de A vers B et le vecteur représente un déplacement de B vers C ; la somme de ces deux déplacements est un déplacement de A vers C qu'on représente par le vecteur .

Attention

La relation de Chasles (qui concerne des vecteurs) est vraie quels que soient les points A, B et C.

La relation AB + BC = AC (qui concerne des distances) n'est vérifiée que si le point B est sur le segment [AC]; de manière générale on ne peut affirmer que AB + BC  AC.

2- Règle du parallélogramme

Quels que soient les points A, B, C et D :

On a l'égalité

si et seulement si

ABCD est un parallélogramme.

3- Propriétés de l'addition des vecteurs

L'addition des vecteurs a des propriétés semblables à celles de l'addition des nombres réels.

a) Suite d'additions de vecteurs

Lorsqu'on effectue une somme de plusieurs vecteurs, on peut modifier l'ordre des termes ou regrouper plusieurs termes sans modifier le résultat.

b) Vecteur nul

Pour tout point A, le vecteur est appelé vecteur nul; on le note . On ne modifie pas un vecteur en lui ajoutant le vecteur nul.

c) Vecteurs opposés

Deux vecteurs sont opposés lorsque leur somme est égale au vecteur nul, ils ont alors même longueur et même direction mais des sens différents.

Ainsi, quels que soient les points A et B, les vecteurs et sont opposés.

On écrit : .

d) Soustraction des vecteurs

Pour soustraire un vecteur il suffit d'ajouter son opposé.

Quels que soient les points A, B et C,

C - Multiplication d'un vecteur par un réel

1- Définition

Pour multiplier un vecteur par un nombre réel k:

on conserve la direction du vecteur
on multiplie la longueur du vecteur par |k|
si k est positif, on conserve le sens du vecteur, mais si k est négatif on le change.

Exemples

Sur la figure on peut constater :

car (CD) // (AB), CD = 3AB et le sens de C vers D est le même que le sens de A vers B.
car (EF) // (AB), EF = 2AB et le sens de E vers F est le sens inverse de celui allant de A vers B.
Les deux égalités précédentes sont équivalentes à et

2- Propriétés

Considérons deux vecteurs et , ainsi que deux nombres réels x et y.

Les égalités suivantes sont vérifiées :

Ces propriétés montrent que le calcul vectoriel est très voisin du calcul sur les nombres.

3- Applications

On dit que deux vecteurs sont colinéaires lorsqu'on peut passer de l'un à l'autre en effectuant une multiplication par un réel. Ainsi deux vecteurs colinéaires ont même direction, le sens et la longueur pouvant être différents.

a) Droites parallèles

Soient A, B, C et D quatre points. Si les vecteurs et sont colinéaires, alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Ainsi, il suffit de trouver un nombre réel k tel que pour démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.