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Conjecture, contre-exemple, démonstration

Exercice 1

Un élève a fait la conjecture suivante :

« Si n est un nombre premier, alors n² + n + 17 est aussi un nombre premier. »

Vérifie cette conjecture pour les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13.

Et pour 17 ? Conclusion ?

Exercice 2

Conjecture : « Tout nombre impair peut s'écrire sous la forme de la différence des carrés de deux nombres entiers. »

Ecrire les nombres 3, 5, 7, 9 sous la forme de différence des carrés de deux nombres entiers.

Et pour 537 ?

Comment démontrer que cette conjecture est exacte ?

Exercice 3

a) Ajouter 3 nombres entiers consécutifs. La somme est-elle un multiple de 3 ?

Recommencer avec d'autres exemples.

Quelle conjecture peut-on faire ? La démontrer.

b) Ajouter 5 nombres entiers consécutifs. La somme est-elle un multiple de 5 ?

Recommencer avec d'autres exemples.

Quelle conjecture peut-on faire ? La démontrer.

c) Peut-on généraliser les propriétés précédentes en disant que la somme de n entiers consécutifs est un multiple de n ?

Exercice 4

1. Calculer le produit de quatre entiers consécutifs et ajouter 1. Que remarque-t-on ?

(Faire plusieurs essais)

2. Montrer que, pour tout réel x, on a x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x² + 3x + 1)²

Expliquer le résultat observé à la question 1.

Exercice 5

a) Calculer , puis .

b) Quelle conjecture peut-on faire ? Démontrer.

Exercice 6

Soit f la fonction définie par .

a) Calculer et f (3), puis et f (– 5) .

b) Quelle conjecture peut-on faire ? Démontrer.