isometries

Transformations géométriques

Nous allons étudier quatre transformations géométriques qui conservent les distances; il s'agit de la symétrie axiale, de la symétrie centrale, de la translation et de la rotation.

A. Symétries

1- Symétrie axiale

La symétrie axiale S d'axe D transforme un point M en un point M' tel que :

- si M∈D, alors M'=M

- si M∉D, alors D est la médiatrice de [MM'].

On dit que M' est l'image de M par S et on écrit S(M) = M'.

La droite D est perpendiculaire à (MM') et passe par le milieu I de [MM'].

Remarques

1- si M' est l'image de M par la symétrie axiale d'axe D, alors M' et M se correspondent par pliage autour de la droite D.

2- les points de la droite D sont leurs propres images par rapport à la symétrie axiale d'axe D, on dit qu'ils sont invariants.

Axe de symétrie

Une figure F admet la droite D comme axe de symétrie si elle est sa propre image par la symétrie d'axe D.

Exemple : si la figure F est le triangle ABC isocèle en A, la droite D médiatrice de [BC] est un axe de symétrie de F.

En effet, pour tout point M situé sur ABC, le point M' symétrique de M par rapport à D se trouve aussi sur ABC.

2- Symétrie centrale

La symétrie centrale s de centre O transforme tout point M en un point M' tel que :

- si M=O, alors M'=M=O.

- si M≠O, alors O est le milieu de [MM']

On dit que M' est l'image de M par s et on écrit s(M) = M'.

Remarques

1- si M' est l'image de M par s, alors M et M' se correspondent par un demi-tour autour de O.

2- O est le seul point invariant par s.

Centre de symétrie

Une figure F admet le point O comme centre de symétrie si elle est sa propre image par la symétrie de centre O.

Exemple : si la figure F est le parallélogramme ABCD, alors le point O intersection des diagonales est un centre de symétrie de F. En effet, pour tout point M situé sur ABCD, le point M' symétrique de M par rapport à O se trouve aussi sur ABCD.

B. Translation et rotation

1- Translation

Un vecteur définit une longueur, une direction et un sens; on le représente par une flèche.

La translation t de vecteur transforme tout point M en un point M' tel que = .

On dit que M' est l'image de M par la translation t et on écrit

t(M) = M'.

Remarques :

1- Si M' est l'image de M par la translation de vecteur , alors M vient prendre la place de M' après un déplacement défini par la direction, le sens et la longueur du vecteur .

2- Il n'y a aucun point invariant par une translation de vecteur non nul.

2- Rotation

Une rotation peut se faire dans deux sens : le sens positif (sens de rotation autour d'un rond-point) et le sens négatif (sens des aiguilles d'une montre).

La rotation r de centre O et d'angle a transforme tout point M en un point M' tel que :

- si M=O, alors M'=M=O

- si M≠O, alors OM' = OM et = a en tenant compte du sens de rotation selon le signe de a.

On dit que M' est l'image de M par la rotation r et on écrit r(M) = M'.

Remarques

1- si M' est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle a, alors M vient se placer sur M' si on le fait tourner autour de O d'un angle égal à a.

2- O est le seul point invariant par une rotation de centre O.

3- Les symétries centrales sont des rotations d'angle 180°.

C. Propriétés

Les symétries, les translations et les rotations conservent les distances, cela implique un certain nombre de propriétés remarquables. On appelle isométrie les transformations géométriques qui conservent les distances.

1- Conservation des distances

On considère deux points M et N, ainsi que leurs images M' et N' par l'une des quatre transformations étudiées.

La propriété de conservation des distances nous indique que MN = M'N'.

Symétrie axiale	Symétrie centrale	Translation	Rotation

Dans chacun précédent, l'image d'un segment [MN] est le segment [M'N'] qui a même longueur que [MN].

2- Image d'une droite

Les quatres transformations étudiées conservent les alignements; elles transforment toute droite D en une droite D'.

Cas particulier de la translation et de la symétrie centrale

Une translation ou une symétrie centrale transforment une droite D en une droite D' parallèle à D.

Translation	Symétrie centrale

3- Image d'un angle

Les quatre transformations étudiées conservent les angles.

Conséquence :

Les quatre transformations étudiées conservent le parallélisme et l'orthogonalité.

4- Image d'une figure

Les quatre transformations étudiées transforment une figure F en une figure F' de même nature : un cercle en cercle de même rayon, un triangle en un triangle, un rectangle en un rectangle, etc…