isometries
Transformations géométriques
Nous allons étudier quatre transformations géométriques qui conservent les distances; il s'agit de la symétrie axiale, de la symétrie centrale, de la translation et de la rotation.
1- Symétrie axiale
La symétrie axiale S d'axe D transforme un point M en un point M' tel que :
- si M∈D, alors M'=M
- si M∉D, alors D est la médiatrice de [MM'].
On dit que M' est l'image de M par S et on écrit S(M) = M'.
La droite D est perpendiculaire à (MM') et passe par le milieu I de [MM'].
Remarques
1- si M' est l'image de M par la symétrie axiale d'axe D, alors M' et M se correspondent par pliage autour de la droite D.
2- les points de la droite D sont leurs propres images par rapport à la symétrie axiale d'axe D, on dit qu'ils sont invariants.
Axe de symétrie
Une figure F admet la droite D comme axe de symétrie si elle est sa propre image par la symétrie d'axe D.
Exemple : si la figure F est le triangle ABC isocèle en A, la droite D médiatrice de [BC] est un axe de symétrie de F.
En effet, pour tout point M situé sur ABC, le point M' symétrique de M par rapport à D se trouve aussi sur ABC.
2- Symétrie centrale
La symétrie centrale s de centre O transforme tout point M en un point M' tel que :
- si M=O, alors M'=M=O.
- si M≠O, alors O est le milieu de [MM']
On dit que M' est l'image de M par s et on écrit s(M) = M'.
Remarques
1- si M' est l'image de M par s, alors M et M' se correspondent par un demi-tour autour de O.
2- O est le seul point invariant par s.
Centre de
symétrie
Une figure F admet le point O comme centre de symétrie si elle est sa propre image par la symétrie de centre O.
Exemple : si la figure F est le parallélogramme ABCD, alors le point O intersection des diagonales est un centre de symétrie de F. En effet, pour tout point M situé sur ABCD, le point M' symétrique de M par rapport à O se trouve aussi sur ABCD.
1- Translation
Un vecteur
définit une longueur, une direction et un sens; on le
représente par une flèche.
La
translation t de vecteur
transforme tout point M en un point M' tel que
=
.
On dit que M' est l'image de M par la translation t et on écrit
t(M) = M'.
Remarques :
1- Si M' est l'image de M par la translation de vecteur , alors M vient prendre la place de M' après un déplacement défini par la direction, le sens et la longueur du vecteur .
2- Il n'y a aucun point invariant par une translation de vecteur non nul.
2- Rotation
Une rotation peut se faire dans deux sens : le sens positif (sens de rotation autour d'un rond-point) et le sens négatif (sens des aiguilles d'une montre).
La
rotation r de centre O et d'angle a transforme tout point M en
un point M' tel que :
- si M=O, alors M'=M=O
- si M≠O,
alors OM' = OM et
= a en tenant compte du sens de rotation selon le signe de a.
On dit que M' est l'image de M par la rotation r et on écrit r(M) = M'.
Remarques
1- si M' est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle a, alors M vient se placer sur M' si on le fait tourner autour de O d'un angle égal à a.
2- O est le seul point invariant par une rotation de centre O.
3- Les symétries centrales sont des rotations d'angle 180°.
Les symétries, les translations et les rotations conservent les distances, cela implique un certain nombre de propriétés remarquables. On appelle isométrie les transformations géométriques qui conservent les distances.
1- Conservation des distances
On considère deux points M et N, ainsi que leurs images M' et N' par l'une des quatre transformations étudiées.
La propriété de conservation des distances nous indique que MN = M'N'.
Symétrie axiale |
Symétrie centrale |
Translation |
Rotation |
|
|
|
|
Dans chacun précédent, l'image d'un segment [MN] est le segment [M'N'] qui a même longueur que [MN].
2- Image d'une droite
Les quatres transformations étudiées conservent les alignements; elles transforment toute droite D en une droite D'.
Cas particulier de la translation et de la symétrie centrale
Une translation ou une symétrie centrale transforment une droite D en une droite D' parallèle à D.
Translation |
Symétrie centrale |
|
|
3- Image d'un angle
Les quatre transformations étudiées conservent les angles.
Conséquence :
Les quatre transformations étudiées conservent le parallélisme et l'orthogonalité.
4- Image d'une figure
Les quatre transformations étudiées transforment une figure F en une figure F' de même nature : un cercle en cercle de même rayon, un triangle en un triangle, un rectangle en un rectangle, etc…
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