Maximum d'une fonction et calculatrice

Objectifs :

faire tracer la courbe représentative d'une fonction
utiliser le tableau de valeurs fourni par la calculatrice
démontrer qu'une valeur est bien le maximum ou le minimum d'une fonction

Exemple 1

Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = x² – 3x + 1.

Compléter le tableau de valeurs suivant :

x	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
f (x)	41	29	19	11	5	1	-1	-1	1	5	11

Quelles conjectures peut-on faire sur les variations de f ? sur l'existence d'un minimum ?

f semble être décroissante lorsque x varie de -5 à 1 et croissante lorsque x varie de 2 à 5.
On ne voit pas ce qui se passe entre 1 et 2.
S'il y a un minimum, il semble devoir être atteint pour x compris entre 1 et 2.

Créer un tableau donnant les valeurs de f (x) pour x variant entre 1 et 2 avec un pas de 0,1.

x	1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,5	1,7	1,8	1,9	2
f (x)	-1	-1,09	-1,16	-1,21	-1,24	-1,25	-1,24	-1,21	-1,16	-1,09	-1

Cette fois il semble qu'il ait bien un minimum égal à -1,25 atteint pour x = 1,5.

A-t-on vraiment f (1,5) = -1,25, c'est à dire f (3/2) = -5/4 , ou s'agit-il d'un résultat approché ?

Pour répondre il faut effectuer le calcul sur sa feuille.
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Tracer la courbe représentative de f sur la calculatrice pour x variant de -5 à +5.

On règle la fenêtre d'affichage en donnant les valeurs xMin=-5 et xMax=5.
Comment choisir yMin et yMax pour voir toute la courbe ?

Est-ce que cette courbe confirme la conjecture sur le miminum ?

Oui. Cependant il subsiste un doute. Que se passe-t-il lorsque x est supérieur à 5 ou inférieur à -5 ? Il est possible qu'il y ait des changements dans les sens de variation et que f (x) devienne inférieur à -1,25.

Démontrer que le minimum de f est bien -5/4 et qu'il est atteint pour x = 3/2.

Il s'agit de montrer que pour tout réel x, on a f (x)  -5/4.

Pour effectuer cette démonstration, on calcule f (x) - (-5/4) et on étudie son signe. Normalement, on doit trouver que f (x) - (-5/4) est toujours positif et ne s'annule que pour x = 3/2.
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On remarque que 4x² – 12x + 9 = (2x – 3)², d'où
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Comme un carré est toujours positif, cela montre bien que f (x) - (-5/4) est toujours positif et donc que f (x)  -5/4. D'autre part, (2x – 3)² ne s'annule que pour x = 3/2, le minimum est donc atteint pour x = 3/2.