Droites et équations

Equation d'une droite

A - Droites et équations

1- Droite définie par une équation

Le plan est muni d'un repère .

Soient a et b deux réels.

L'ensemble des points M(x; y) tels que y = ax + b forme une droite.

Celle-ci est la représentation graphique de la fonction affine f qui à x associe ax+b, on dit que c'est la droite d'équation y = ax + b.

a est le coefficient directeur et b est l'ordonnée à l'origine.

Réciproquement :

• toute droite du plan qui n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, admet une équation du type y = ax + b.

• les droites parallèles à l'axe des ordonnées admettent une équation du type x = c.

Exemples :

Tracer les droites :

a) D₁ d'équation y = 2x – 3

b) D₂ d'équation y = 4

c) D₃ d'équation x = 2.

2- Propriétés

1- Si la droite D d'équation y = ax+b passe par les points A(x_A; y_A) et B(x_B; y_B), alors le coefficient directeur a est égal à .

2- La droite D d'équation y = ax+b est parallèle au vecteur qui est appelé vecteur directeur de la droite.

3- Les droites D et D' d'équations respectives y = ax+b et y = a'x+b' sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur, donc a = a'.

4- Dans un repère orthonormal, les droites D et D' d'équations respectives y = ax+b et y = a'x+b' sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1, donc aa' = -1.

B - Recherche de l'équation d'une droite

Pour obtenir l'équation d'une droite :

1- on détermine son coefficient directeur en utilisant une propriété géométrique (deux points de la droite, parallélisme, orthogonalité)

2- on détermine son ordonnée à l'origine en utilisant un des points de la droite.

1- Exemple 1

Déterminer l'équation de la droite D passant par A(-2; 1) et B(3; -1).

Soit y = ax+b l'équation de D.

Le coefficient directeur de D est a = = .

Comme D passe par A, on a y_A = ax_A + b, donc .

On en déduit que .

L'équation de D est donc .

2- Exemple 2

Le plan est muni d'un repère orthnormal.

On considère le point A(-3; -2) et la droite D d'équation y = 2x – 1.

Déterminer l'équation de la droite D' perpendiculaire à D passant par A.

Soit y = ax+b l'équation de D'.

Comme D et D' sont perpendiculaires, 2a = -1, donc .

Comme D' passe par A, on a y_A = ax_A + b, donc .

On en déduit que .

L'équation de D' est donc .

C - Intersections de droites et systèmes d'équations

1- Equation à deux inconnues

Soient u, v et w trois réels avec u ou v non nul.

L'ensemble des couples (x, y) solutions de l'équation ux + vy = w peut être représenté graphiquement par une droite.

Si v = 0, on a ux = w, donc , équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

Si v ≠ 0, on a , équation d'une droite non parallèle à l'axe des ordonnées.

Exemple

2x + 3y = 5 est équivalent à 3y = – 2x + 5, donc .

Ainsi, l'ensemble des couples (x, y) solutions de 2x + 3y = 5 peut être représenté par la droire d'équation

2- Système de deux équations à deux inconnues

Résoudre le système d'équations , c'est trouver l'ensemble des couples (x, y) qui vérifient simultanément les deux équations.

Comme les solutions de chacune des deux équations peuvent être représentées par des droites, les solutions du système seront représentées par l'intersection des deux droites.

Trois cas sont possibles :

• les droites sont sécantes, le système admet un unique couple (x, y) comme solution.

• les droites sont strictement parallèles, le système n'a pas de solutions.

• les droites sont confondues (les deux équations sont alors équivalentes), le système a une infinité de solutions représentées par la droite.

Exemple

Considérons le système .

L'équation 2x + y = 5 est équivalente à y = – 2x + 5.

L'équation 3x – 2y = 1 est équivalente à

y = .

Les droites D₁ d'équation y = – 2x + 5 et

D₂ d'équation y = sont sécantes,

les coordonnées du point d'intersection sont les solutions du système.

Graphiquement, les solutions sont donc

x ≈ 1,6 et y ≈ 1,9.

3- Méthodes de résolution

Résoudre le système .

Méthode de substitution

1. On exprime une inconnue en fonction de l'autre à partir d'une des deux équations
   Ici, la première équation nous donne y = 5 – 2x

2. On remplace cette inconnue par son expression dans l'autre équation.
   On obtient avec la deuxième équation 3x – 2(5 – 2x) = 1 soit 7x – 10 = 1

3. On résoud l'équation à une inconnue obtenue
   7x – 10 = 1 donc .

4. On obtient l'autre inconnue en utilisant l'expression obtenue au 1)
   y = 5 – 2x = .

5. Le système a donc une unique solution : et .

Méthode d'addition

1. On multiplie les deux équations par des nombres choisis pour que les coeeficients de x soient opposés; ici on multiplie la 1ère par 3 et la seconde par -2.
   On obtient le système

2. On ajoute membre à membre les deux équations et on obtient y.
   Ici, 7y = 13 d'où .

3. On multiplie les deux équations par des nombres choisis pour que les coefficients de y soient opposés; ici on multiplie la 1ère par 2 et la seconde par 1.
   On obtient le système .

4. On ajoute membre à membre les deux équations et on obtient x.

   Ici, 7x = 11 d'où .

5. Le système a donc une unique solution : et .