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22 mars 2009

tableur-fonction-equation

Tableur, fonction et équation

On considère la fonction f définie par f(x) = x² - 6x + 4.

On se propose de résoudre l'équation f(x) = 0, d'abord de façon numérique en utilisant des tableaux de valeurs, ensuite de façon algébrique.

Méthode numérique

Le tableur ou la calculatrice permettent de calculer rapidement les images par f de nombreux réels sous forme de tableaux de valeurs. En procédant de façon ordonnée et systématique on peut obtenir, à l'aide de ces tableaux, des valeurs approchées très précises des solutions de l'équation f(x) = 0.

1) Construire un tableau de valeurs donnant f(x) lorsque x varie de -4 à 10 avec un pas égal à 1. On constate deux changements de signe pour f(x), et on en déduit que l'équation f(x) = 0 a deux solutions que l'on nommera s1 et s2 (avec s1 < s2). Donner des encadrements de s1 et s2 à une unité près.

2) Construire un nouveau tableau de valeurs donnant f(x) lorsque x varie de 0 à 1 avec un pas égal à 0,1. En déduire un encadrement de s1 à 0,1 près.

3) Recommencer avec x variant dans l'intervalle donné par l'encadrement précédent et un pas de 0,01. En déduire un encadrement de s1 à 0,01 près.

4) Continuer jusqu'à obtenir un encadrement de s1 à 0,0001 près.

5) Avec la même méthode, déterminer un encadrement de s2 à 0,0001 près.


Méthode algébrique

Pour résoudre l'équation f(x) = 0 de façon algébrique on cherche une factorisation de f(x).

1) Vérifier que f(x) = (x - 3)² - 5. En déduire une factorisation de f(x).

2) Quelles sont les solutions de l'équation f(x) = 0 ? Ces solutions correspondent-elles aux encadrements trouvés dans la première partie ?





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