Equation d'un ensemble de points

Ensembles de points définis par une équation

Le plan est muni d'un repère orthonormal.

1) On appelle E l'ensemble des points M(x,y) tels que x²+y²-2y-9=0.
a) Parmi les points suivants, quels sont ceux qui appartiennent à l'ensemble E ?
A(3;2) , B(2;4) , C(-1;-2) , D(-4;1).
b) Quels sont les points de E :
- d'ordonnée 3 ?
- d'ordonnée 5 ?
- d'abscisse ?
c) Montrer que l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de E, c'est à dire que si M(x;y) est dans E, alors M'(-x;y) est aussi dans E.
d) Construire une figure contenant tous les points de E trouvés dans les questions précédentes. Ces points semblent se trouver sur un cercle de centre Ω et de rayon R.
Conjecturer les coordonnées de Ω et la valeur de R. Démontrer qu'un point M(x,y) se trouve sur le cercle de centre Ω et de rayon R si et seulement si x²+y²-2y-9=0.

On a ainsi montré que l'ensemble E est le cercle de centre Ω et de rayon R qu'on appelle aussi cercle d'équation x²+y²-2y-9=0.

2) On appelle F l'ensemble des points M(x,y) tels que x+2y-5=0.
a) Déterminer 5 points de F et les dessiner. Quelle conjecture peut-on faire sur F ?
b) Vérifier que les points A(3;1) et B(5,0) sont dans F.
c) Démontrer qu'un point M(x,y) se trouve sur la droite (AB) si et seulement si x+2y-5=0.

(Rappel : les points A, M et B sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires, c'est à dire si et seulement si les vecteurs et ontdes coordonnées proportionnelles)

On a ainsi montré que l'ensemble F est la droite (AB) qu'on appelle aussi droite d'équation x+2y-5=0.

Fonction et valeur absolue

Partie 1

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=x²-3.
1) Construire un tableau de valeurs de f, puis tracer la représentation graphique de f dans le plan muni d'un repère orthonormal.
2) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=0, puis l'inéquation f(x)>0.
3) Factoriser f(x) et utiliser le résultat pour résoudre algébriquement l'équation f(x)=0 et l'inéquation f(x)>0.
4) Résoudre les équations f(x)=2 et f(x)=-5. Vérifier les résultats sur le graphique.

Partie 2

Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x)=|x²-3|.
1) Tracer la représentation graphique de g sur la même figure que celle de f.
2) Etudier le signe de x²-3 et en déduire des expressions de g(x) sans valeur absolue selon la position de x.
3) Résoudre graphiquement l'équation g(x)=2, puis l'équation g(x)=5.
4) Retrouver ces résultats algébriquement.

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Devoir de Mathématiques

Exercice 1

Une entreprise qui exploite un parc de taxis a relevé les distances parcourues en milliers de km par les taxis avant leur remplacement.

Distance parcourue	[80;85[	[85;90[	[90;95[	[95;100[	[100;105[	[105;110[	[110;115[	[115;120[
Nombre de taxis	6	12	16	21	34	20	7	4

1) Recopier ce tableau et le compléter par une ligne donnant les effectifs cumulés croissants pour les taxis.
2) Calculer la distance moyenne parcourue par un taxi de cette entreprise.
3) Quelle est la classe médiane pour les distances parcourues ? Justifier la réponse.
4) Calculer le pourcentage de taxis qui ont parcouru plus de 100 milliers de km, puis le pourcentage de taxis qui ont parcouru moins de 105 milliers de km ?  Pourquoi ces résultats confirment-ils ce qui a été trouvé à la question 3 ?
5) Construire le polygone des effectifs cumulés, puis déterminer graphiquement la médiane de la distance parcourue. Retrouver ce résultat par un calcul.

Exercice 2

1) ABC est un triangle.
A l'extérieur de ABC construire les triangles équilatéraux ABE et ACF.
Démontrer que les triangles AEC et AFB sont isométriques. Qu'en déduit-on pour EC et BF ?

2) ABCD est un carré et E est un point du côté [AB].
La perpendiculaire à (EC) passant par C coupe la droite (AD) en F.
Démontrer que les triangles EBC et FDC sont isométriques. Qu'en déduit-on pour le triangle ECF ?


Correction ...

Triangles de même forme

Dans le plan muni d'un repère orthonormal on considère les points:
A(-5; 2), B(-1; 4), C(-1; -2)
D(4; 2), E(7; -4), F(-2; -4)

1) Placer les points et tracer les triangles ABC et DEF.

Ces deux triangles semblent avoir la même forme; DEF semble être un agrandissement de ABC. Pour le vérifier, on calcule les longueurs des côtés de ces triangles.

2) Calculer les longueurs AB, BC et CA, puis les longueurs DE, EF et FD.
Démontrer que AB, BC et CA sont proportionnels à DE, EF et FD, c'est à dire que l'on passe de AB, BC et CA à DE, EF et FD en multipliant par un même nombre k à déterminer.
Cela montre que DEF est un agrandissement de ABC à l'échelle k.

3) Sur [DE] on place le point G telque DG=AB et sur [DF] on place le point K tel que DK=AC.
a) Montrer que (KG) // (FE), puis que KG=BC
b) Qu'en déduit-on pour les triangles ABC et DGK ?

4) Montrer que les triangles ABC et DEF ont leurs angles égaux 2 à 2.

5) Soit H(-1; 2).
a) Montrer que (AH) est une hauteur du triangle ABC.
b) Calculer l'aire de ABC.
c) Par quel nombre faut-il multiplier l'aire de ABC pour trouver l'aire de DEF ?

Moyenne et médiane

Exercice 1

Les résultats d'un contrôle de vitesse dans une rue d'une agglomération sont consignés dans le tableau suivant.

Vitesse en km/h	[20;30[	[30;40[	[40;50[	[50;60[	[60;70[	[70;80[
Effectif	56	104	188	108	16	8

1) Reproduire ce tableau sur un tableur, construire un histogramme représentant les données.
2) Ajouter une ligne "Centres", une ligne "Effectif cumulé croissant" et une ligne "Fréquences", puis compléter.
3) Calculer l'effectif total (avec la fonction somme), puis la moyenne (avec la fonction sommeprod).
4) Calculer le demi-effectif et en déduire la classe médiane.
5) Reproduire et compléter le tableau suivant :

Vitesse en km/h	20	30	40	50	60	70	80
Eff. cum. croissant

A l'aide de ce tableau, construire le polygone des effectifs cumulés croissant et en déduire graphiquement la valeur de la médiane.
Retrouver la médiane par calcul.

Exercice 2

Le tableau donne la répartition des prix d'un appareil électro-ménager dans différents points de vente.

Prix en euros	[300;350[	[350;400[	[400;450[	[450;500[	[500;550[	[550;600[	[600;650[	[650;700[
Effectif	4	6	12	20	17	8	7	6

Mêmes questions qu'à l'exercice 1.

devoir-geom-esp

Devoir de Mathématiques

Exercice 1

1) Reproduire le cube ABCDEFGH représenté sur la figure. Ajouter le point I milieu de [AD] et le point J de [AE] vérifiant .

2) Déterminer l'intersection du plan (FIJ) avec les faces ABFE et ADHE.

3) Construire le point K de [CG] tel que [FK] soit l'intersection du plan (FIJ) avec la face BCGF. Quelle est la propriété utilisée pour construire K ?

4) Construire le point L intersection du plan (FIJ) avec l'arête [DC]. Justifier la construction.

5) Quelle est l'intersection du plan (FIJ) avec le cube ABCDEFGH ? La représenter en couleur.

6) Les droites (IL) et (JF) sont sécantes en un point P. Démontrer que les points A, B et P sont alignés.

7) Quelle est la longueur du segment [PA] si l'arête du cube ABCDEFGH mesure 6cm ?

Exercice 2

SABCD est une pyramide régulière à base carrée; ABCD est un carré de centre O, les triangles SAB, SBC, SCD et SDA sont équilatéraux.

1) Représenter cette pyramide en perspective cavalière.

2) Le côté du carré ABCD mesure 6cm. Déterminer AC, SA et SC. Que peut-on en déduire sur la nature du triangle SAC ?

3) Démontrer que la droite (SO) est perpendiculaire au plan (ABC), puis calculer SO et le volume de la pyramide.

4) On appelle I le milieu de [AB]. Que peut-on dire du triangle SOI ? Déterminer les longueurs des 3 côtés de SOI, puis une mesure de l'angle SIO à 1° près.

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